凱利公式是1956年由約翰·凱利(John Kelly)在美國著名的貝爾實驗室提出的,屬於概率學關於預測方面的一個分支,原數學糢型較為複雜,因其在對事件的預期和規避風險等理論上的先進性,凱利準則被迅速地應用在博彩方面,比如撲克游戲二十一點和歐洲盛行的賽馬、賽狗等運動。在足球博彩方面的應用主要以歐洲賠率為基礎,可以在給定賠率的情況下計算出最佳的投註額,從而使本金穩定、安全並快速地呈幾何級數增長。
在一定的賠率之下,如果賭局擁有正期望值,那麼凱利公式可以使長期增長率達到最大化。可用凱利公式計算出每次游戲中所應投註的資金比例。除了可以將長期增長率最大化以外,該公式不允許在任何賭局中出現損失全部現有資金的可能,因此理論上不用擔心虧光出局。該公式假設貨幣與賭局可無窮分割,只要資金足夠多,在實際應用上不成問題。
凱利公式的最一般性陳述為,為了使盈利達到最大化,投入現有資金的比例為F時,即可實現長期增長率的最大化。對於只有兩種結果(輸掉所有投註資金,或者獲得投註資金乘以特定賠率的彩金)的簡單賭局而言,可由一般性陳述導出下面的凱利公式。
凱利公式(Kelly formula)
形式一:
F=(bp-q)/b
其中,F為現有資金應進行下次投註的比例;b為投註可得的賠率;p為勝率;q為敗率,即1-p。
舉例來說,假設一種博彩游戲有40%的勝率(p=0.4,q=0.6),而玩家在贏得賭局時,可獲得2:1的賠率(b=2),則玩家應在每次機會中應下註現有資金的10%(F=0.1),以使資金的長期增長率最大化。
形式二:
F=[(R+1)P-1] /R
其中,P為勝率;R為賠率,即盈虧比。
我們假設一個交易系統的勝率為65%,賠率為1.3,計算投入資金的最佳比例,以使盈利達到最大化。
F=[(1.3+1)×0.65-1] /1.3=38%
可以得出,每次投入現有資金的38%時是最佳比例。這個公式的意義在於,當你連續虧損的時候,你投入的資金迅速縮減,當你連續盈利時,你投入的資金迅速提高,當你處於虧損與盈利交替時,你的投入金額保持平衡,且剩餘資金也保持平衡。
這個公式還告訴我們,只有正期望(bp-q>0)時才有參與價值,而現實中的賭局由於抽水、返獎率等原因基本上都是負期望系統,而在股市交易中通過調整買入和賣出策略,進而影嚮盈虧比和勝率,可以更好地運用凱利公式。
我們在股市中使用的多數是正期望交易系統,交易失敗的時候,往往不會虧掉全部本金。所以在股市交易中,有著名的巴菲特簡化公式:
2b-1=X
從這個簡化公式上來看,只有當勝率大於50%的時候才能參與,且資金增加的速度為勝率增加速度的2倍,但這僅是個簡單公式,實際進行倉位控制時的情況要複雜得多。通過前面的數學期望公式我們知道,只要數學期望大於0就有參與的價值,這個簡化公式可以看作一個特例,有助於理解和考量一般的勝率和盈虧比的關系。這個簡化公式杜絕了低概率事件,即使是賠率很高也不考慮。凱利公式的應用,不會使你增加勝率,但能更合理地進行倉位控制,使盈利達到最大化,並將虧損控制在合理範圍內。