凯利公式是1956年由约翰·凯利(John Kelly)在美国着名的贝尔实验室提出的,属于概率学关于预测方面的一个分支,原数学模型较为复杂,因其在对事件的预期和规避风险等理论上的先进性,凯利准则被迅速地应用在博彩方面,比如扑克游戏二十一点和欧洲盛行的赛马、赛狗等运动。在足球博彩方面的应用主要以欧洲赔率为基础,可以在给定赔率的情况下计算出最佳的投注额,从而使本金稳定、安全并快速地呈几何级数增长。
在一定的赔率之下,如果赌局拥有正期望值,那么凯利公式可以使长期增长率达到最大化。可用凯利公式计算出每次游戏中所应投注的资金比例。除了可以将长期增长率最大化以外,该公式不允许在任何赌局中出现损失全部现有资金的可能,因此理论上不用担心亏光出局。该公式假设货币与赌局可无穷分割,只要资金足够多,在实际应用上不成问题。
凯利公式的最一般性陈述为,为了使盈利达到最大化,投入现有资金的比例为F时,即可实现长期增长率的最大化。对于只有两种结果(输掉所有投注资金,或者获得投注资金乘以特定赔率的彩金)的简单赌局而言,可由一般性陈述导出下面的凯利公式。
凯利公式(Kelly formula)
形式一:
F=(bp-q)/b
其中,F为现有资金应进行下次投注的比例;b为投注可得的赔率;p为胜率;q为败率,即1-p。
举例来说,假设一种博彩游戏有40%的胜率(p=0.4,q=0.6),而玩家在赢得赌局时,可获得2:1的赔率(b=2),则玩家应在每次机会中应下注现有资金的10%(F=0.1),以使资金的长期增长率最大化。
形式二:
F=[(R+1)P-1] /R
其中,P为胜率;R为赔率,即盈亏比。
我们假设一个交易系统的胜率为65%,赔率为1.3,计算投入资金的最佳比例,以使盈利达到最大化。
F=[(1.3+1)×0.65-1] /1.3=38%
可以得出,每次投入现有资金的38%时是最佳比例。这个公式的意义在于,当你连续亏损的时候,你投入的资金迅速缩减,当你连续盈利时,你投入的资金迅速提高,当你处于亏损与盈利交替时,你的投入金额保持平衡,且剩余资金也保持平衡。
这个公式还告诉我们,只有正期望(bp-q>0)时才有参与价值,而现实中的赌局由于抽水、返奖率等原因基本上都是负期望系统,而在股市交易中通过调整买入和卖出策略,进而影响盈亏比和胜率,可以更好地运用凯利公式。
我们在股市中使用的多数是正期望交易系统,交易失败的时候,往往不会亏掉全部本金。所以在股市交易中,有着名的巴菲特简化公式:
2b-1=X
从这个简化公式上来看,只有当胜率大于50%的时候才能参与,且资金增加的速度为胜率增加速度的2倍,但这仅是个简单公式,实际进行仓位控制时的情况要复杂得多。通过前面的数学期望公式我们知道,只要数学期望大于0就有参与的价值,这个简化公式可以看作一个特例,有助于理解和考量一般的胜率和盈亏比的关系。这个简化公式杜绝了低概率事件,即使是赔率很高也不考虑。凯利公式的应用,不会使你增加胜率,但能更合理地进行仓位控制,使盈利达到最大化,并将亏损控制在合理范围内。